Příklady ze cvičení a k nastudování doma

Příprava ke zkoušce

Mrkněte se na seznam témat, ze kterých bude zkoušet profesor Bican. K přípravě ke zkoušce můžete použít zápočtovou písemku ze cvičení Štěpána Holuba (písemka pokrývá druhou polovinu semestru, první část semestru byla v polosemestrální písemce). Dále tu máme zadání písemky z předtermínu.

Dále tu máme materiály, které jsou obecně užitečné pro jakékoli vysokoškolské studium: zejména doporučuji Vaší pozornosti rady slavného profesora Terence Tao (byl geniálním dítětem, bakalářské studium dokončil asi v 16 letech). Na základě inspirace ze stránky pro postgraduální studenty s několika radami o tom, jak poslouchat na přednáškách a seminářích, jsem pro Vás připravila pomůcku pro studium z knihy i pro návštěvu přednášek. (Pomůcka je víceméně univerzální a nemá žádnou souvislost s lineární algebrou.) Budu ráda, pokud se se mnou podělíte o vlastní seznam otázek, které je podle vašeho názoru dobré si položit na konci každé přednášky nebo kapitoly. A konečně tady je text o tom, jak psát matematický text, včetně užitečných rad pro psaní domácích úkolů a písemek.

Lineární formy (čtvrtek 7. 1., úterý 12. 1.)

Stručný výtah nejdůležitějších poznatků najdete jako obvykle u Dalibora Šmída. Můžete také nahlédnout do staršího moodle kurzu, ve kterém se teorie střídá s příklady. K procvičení slouží desátá sada příkladů, které jsou všechny až na jeden převzaty od Dalibora Šmída.

Homomorfismy v souřadnicích (čtvrtek 17. 12., úterý 5. 1.)

Příklady 9. sady jsou převzaty z 1., 9. a 10. sady Dalibora Šmída a od Jakuba Opršala. Lineárním zobrazením a jejich zápisu v souřadnicích je věnována poslední, sedmá kapitola sbírky řešených příkladů Pavla Růžičky. Stručný souhrn nejdůležitějších pojmů a tvrzení o lineárních zobrazeních a přechodech mezi bázemi připravil Dalibor Šmíd.

Lineární zobrazení (čtvrtek 10. 12., úterý 15. 12.)

Osmá sada příkladů se zabývá definicí homomorfismu (lineárního zobrazení) a souvisejícími pojmy; příklady v této sadě jsou převzaty z 11. sady příkladů Jakuba Opršala. Podrobný popis rotací v třírozměrném prostoru (viz úloha 2a) najdete na stránce Petera Franka. K procvičení těchto pojmů vám může výborně posloužit například 1. a 9. sada úloh Dalibora Šmída.

Regulární matice (čtvrtek 3. 12., úterý 8. 12.)

Další sada příkladů se týká zejména regulárních matic. Pozor na drobnou změnu ve formulaci zadání prvního příkladu oproti variantě, kterou jste dostali na cvičení.

Determinanty (čtvrtek 26. 11. a 3. 12., úterý 1. 12.)

A máme tu příklady na výpočet determinantů; o něco podrobnější přehled látky o permutacích a determinantech připravil Dalibor Šmíd. Pěkný přehled metod výpočtu determinantu a také opakování látky o permutacích najdete na webu Matematika polopatě. Látka o determinantech uzavírá druhý díl řešených příkladů Jana Žemličky. Vzhledem k tomu, že u zkoušky se nehodnotí jen o schopnost určit správné řešení, ale také popsat či okomentovat postup výpočtu a zdůvodnit jeho správnost, doporučuji propočítat si příklady samostatně a pak si porovnat nejen výsledky, ale i zdůvodnění.

Permutace (úterý 10. 11., čtvrtek 19. 11.)

Sada příkladů o permutacích se týká šesté kapitoly v Bicanových skriptech. Pro zamyšlení můžete mrknout i na pár složitějších příkladů. Tutéž látku pokrývá třeba pěkný text s příklady o králících a Rubikových kostkách ze Slezské univerzity v Opavě. Pokud spěcháte, doporučuji Vaší pozornosti zejména cvičení na straně 5 a 6, která nabízejí matematický pohled na některé známé hlavolamy. Pak je tu zajímavé čtení o souvislostech mezi permutacemi a pojmem symetrie a o tom jak zapisovat permutace pomocí matic. A nebo byste se raději chtěli dočíst, jak optimalizovat výběr životního partnera pomocí permutací?

Opakování (čtvrtek 5. 11. a 12.11., úterý 24. 11.)

Opakovací sada příkladů pokrývá většinu dosud probrané látky. Z této sady se nebude psát písemka. Dva body je možné získat předvedením příkladu u tabule nebo odevzdáním příkladu, který nebyl předveden na cvičení, v písemné podobě.

K opakování vám může posloužit také půlsemestrální písemka ze cvičení Štěpána Holuba. Všimněte si, že ve velkých písemkách za každý příklad možno získat relativně hodně bodů; přitom se hodnotí nejen správnost výpočtu, ale také preciznost zápisu a argumentace.

Pro procvičení početní části můžete použít flash animace z Vysoké školy báňské v Ostravě, nebo třeba sbírky úloh z lineární algebry a analytické geometrie v prostoru z téže školy.

Matice (čtvrtek 29. 10., úterý 3. 11.)

Čtvrtá sada příkladů se týká základních operací s maticemi: sčítání, násobení, výpočet hodnosti, a hledání inverzních matic. Pěkný úvodní text do celé látky o maticích je na webu Matematika polopatě. Můžete také nahlédnout do kapitoly Matice a determinanty v rámci projektu Matematika on-line Ústavu informatiky FSI VUT v Brně. Tam najdete i prezentaci s řešenými příklady.

Lineární nezávislost, báze (čtvrtek 15. 10. a 22. 10., úterý 20. 10. a 27. 10.)

Třetí sada příkladů obsahuje cvičení na ověřování lineární závislosti a nezávislosti vektorů a určování dimenze. Cvičení v druhé části se týkají některých méně zřejmých příkladů vektorových prostorů. Tato sada příkladů pokrývá látku první a druhé kapitoly skript k přednášce (Ladislav Bican: Lineární algebra a geometrie, kapitoly Pojem vektorového prostoru, Vektorové prostory konečné dimenze).

Definici vektorového prostoru a základních pojmů, které se vyskytly na cvičení, najdete také v textíku s nejdůležitějšími větami, definicemi a příklady, který připravil Dalibor Šmíd. Tutéž látku (v mírně odlišném značení, než jaké používáme na MFF) najdete také v prezentaci Martina Čadka.

První cvičení se týká ověřování, zda daná množina tvoří vektorový podprostor zadaného vektorového prostoru. Komentář k tomuto cvičení najdete tady. Toutéž problematikou se zabývá kapitola 4.4. ve sbírce řešených úloh od Karla Výborného a Miloše Zahradníka (přístupné jako ps a pdf - str. 62, nebo jako html - oddíl Vektorová Odyssea, kapitola Je to podprostor, není to podprostor...). Doporučuji projít si příklady 1-4 a v případě zájmu také 12-17 z této kapitoly.

První tři sady příkladů pokrývají látku z celého prvního dílu řešených příkladů Jana Žemličky. Také první dva oddíly druhého dílu se týkají téže látky.

Gaussova eliminace (úterý 6. 10. a 13. 10., čtvrtek 8. 10.)

Všimněte si nápověd na konci on-line verze druhé sady. Tato sada příkladů pokrývá látku třetí a páté kapitoly skript k přednášce (Ladislav Bican: Lineární algebra a geometrie). Dále vřele doporučuji projít si příklady 1--10 ze sbírky řešených příkladů Jana Žemličky; příklady 11-13 z téže sbírky osvětlují použití Euleidova algoritmu pro hledání inverzních prvků (příklad 10 z první sady cvičení - pouze pro zájemce). K lepšímu porozumění Gaussově eliminaci můžete použít například prezentaci Lenky Přibylové a Roberta Maříka, text ze stránek Dalibora Šmída nebo třeba celou první kapitolu ze skript téhož autora (tam najdete i několik cvičení s výsledky). Také stránky Štěpána Holuba obsahují velké množství příkladů na řešení soustav lineárních rovnic nad různými tělesy, i se správnými výsledky. Můžete si také zkusit pohrát s prográmkem pana docenta Maříka (z Mendělevovy zemědělské univerzity v Brně).

Tělesa (út 29.9., čt 1.10.)

První sada příkladů a nápověda k 7. příkladu.

Pokud se vám látka probraná na cvičení zdá těžká, doporučuji následující materiály:

Další zdroje na webu


na stránkách Toma Vally najdete sady cvičení k jednotlivým tématům

na stránkách Petera Franka najdete tři zkouškové písemky z minulého roku, i se vzorovým řešením

z Vysoké školy báňské v Ostravě pocházejí báječná videa simulují výklad vyučujícího na tabuli, a také sbírka úloh z lineární algebry a analytické geometrie v prostoru

cvičení Jana Žemličky s řešenými příklady; nové stránky (v ještě vyšší kvalitě, materiál přibývá v průběhu semestru)

skripta Petra Olšáka z Elektrotechnické fakulty pražského ČVUTu jsou psána nesmírně podrobně a přístupně; tentýž text v dalších formátech

sbírka Pavla Růžičky s řešenými příklady

materiály Dalibora Šmída: sady příkladů k loňskému cvičení, zápisky z přednášek pro fyziky, a konečně starší cvičení i s doprovodnými texty k jednotlivým tématům

přednášky pana docenta Tůmy

moodle kurzy Univerzity Karlovy: 1. semestr, 2. semestr, a konečně celoroční kurz, který před několika lety fungoval jako alternativa k docházení na přednášku na MFF (login a heslo by měly být totožné s údaji pro CAS)

na stránkách Jiřího Matouška (z Katedry aplikované matematiky) najdete kromě jiných zajímavých materiálů také stručný výtah z přednášky z lineární algebry pro informatiky a také takzvaných šestnáct miniatur, v nichž je lineární algebra aplikována v jiných oblastech matematiky a informatiky

na stránkách Martina Čadka z Masarykovy univerzity v Brně najdete podrobné poznámky k jeho přednášce (včetně mnoha odkazů na další texty) v 1., 2. a 3. semestru; za pozornost stojí také sbírky řešených příkladů vytvořené jeho studenty: první a druhá dohromady pokrývají většinu látky obou semestrů; jiná sbírka

skripta profesora Jana Slováka (také z Masarykovy univerzity v Brně) jako ps, pdf a dvi; řešené příklady z konce skript ps, pdf, dvi

kurz, který opravdu není pro každého, vždyť jeho cílem je spíše poukázat na zajímavé souvislosti než podat úvodní výklad látky: homepage učebnice Pěstujeme lineární algebru Miloše Zahradníka a Luboše Motla, a plná verze ve formátu ps; dále online verze sbírky Používáme lineární algebru obsahující veliké množství řešených příkladů (dostupná též jako ps nebo pdf)

a pro jazykově zdatné zájemce ještě Hefferonova učebnice s řešenými příklady v angličtině

Podrobný seznam materiálů dostupných na webu najdete na Matfyzácké wiki.

Podmínky udělení zápočtu

Tento systém udělování zápočtů je víceméně převzat od Dalibora Šmída.

Na každé hodině budeme psát písemku, ve které se vyskytnou pouze příklady probrané na minulé hodině nebo zadané k nastudování doma. Za úspěšné napsání písemky lze získat 2 body. Pokud se v písemce vyskytnou chyby, zadám vám 1-2 příklady (ze stejné sady úloh, nebo typově podobné), které do příští hodiny vypracujete za domácí úkol. V případě perfektního vypracování domácího úkolu máte stále ještě šanci získat 2 body. Pokud se i v úkolu vyskytnou chyby, bude celkové hodnocení 1 nebo 0 bodů podle závažnosti chyb v písemce i v úkolu:
Celkem je třeba získat 75% bodů, což pro kruh 61 znamená 18 bodů a pro kruh 62 znamená 20 bodů. (Pokud v některé hodině nebudeme psát písemku, hranice se sníží o 2 body.)

Myšlenka je taková, že po zveřejnění sady si všechny příklady z ní buď spočítáte, nebo aspoň důkladně rozmyslíte, jak byste je počítali. Budou to vesměs úlohy jednoduché a časově nenáročné, které vám mají pomoci pochopit obsah minulého cvičení a připravit se na další.

Jak získat dodatečné body

Celkově je za celý semestr nezbytné získat 18 bodů. Ten, kdo je nezíská za průběžné testy a opravné úlohy, může body získat za dodatečné domácí úlohy. Pro ně platí následující pravidla: